【商的导数公式是什么】在微积分中，求函数的导数是分析函数变化率的重要方法。当两个函数相除时，即一个函数作为分子，另一个作为分母，我们称之为“商”的形式。在这种情况下，需要使用“商的导数公式”来求解其导数。
一、商的导数公式总结
商的导数公式用于计算两个可导函数之商的导数。设函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则 $ f(x) $ 的导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
该公式可以简记为：分子导乘分母减去分母导乘分子，再除以分母的平方。
二、商的导数公式表格
| 名称 | 公式表达式 |
| 商的导数公式 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ |
| 说明 | 当 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 均可导，且 $ v(x) \neq 0 $ 时适用 |
| 记忆口诀 | 分子导乘分母，减去分母导乘分子，结果除以分母的平方 |
三、应用示例
假设 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 3} $，求 $ f'(x) $。
- 设 $ u(x) = x^2 + 1 $，则 $ u'(x) = 2x $
- 设 $ v(x) = x - 3 $，则 $ v'(x) = 1 $
代入公式：
$$
f'(x) = \frac{(2x)(x - 3) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 3)^2}
= \frac{2x(x - 3) - (x^2 + 1)}{(x - 3)^2}
$$
展开并化简：
$$
f'(x) = \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x - 3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 1}{(x - 3)^2}
$$
四、注意事项
- 必须确保分母 $ v(x) \neq 0 $，否则导数不存在。
- 若分子或分母为常数，公式仍然适用，但计算会更简单。
- 可结合其他导数规则（如链式法则、乘积法则）进行复杂函数的求导。
通过掌握商的导数公式，我们可以更高效地处理涉及分数形式的函数导数问题，是微积分学习中的基础内容之一。