【韦布尔分布的定义】韦布尔分布是一种在可靠性工程、寿命分析和风险评估中广泛应用的概率分布模型。它能够灵活地描述不同类型的失效模式，适用于各种实际场景中的寿命数据建模。该分布由瑞典工程师瓦尔德马·韦布尔（Waldemar Weibull）于1930年代提出，因此得名。
韦布尔分布具有三个参数：形状参数（β）、尺度参数（η）和位置参数（γ）。其中，形状参数决定了分布的形态，尺度参数表示特征寿命，而位置参数则用于调整分布的起始点。根据不同的参数取值，韦布尔分布可以模拟多种失效行为，如早期失效、随机失效或磨损失效等。
韦布尔分布的基本定义
韦布尔分布的概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）如下：
- 概率密度函数（PDF）：
$$
f(t) = \frac{\beta}{\eta} \left( \frac{t - \gamma}{\eta} \right)^{\beta - 1} \cdot e^{-\left( \frac{t - \gamma}{\eta} \right)^{\beta}}, \quad t \geq \gamma
$$
- 累积分布函数（CDF）：
$$
F(t) = 1 - e^{-\left( \frac{t - \gamma}{\eta} \right)^{\beta}}, \quad t \geq \gamma
$$
其中：
- $ t $ 是时间变量；
- $ \beta $ 是形状参数（$ \beta > 0 $）；
- $ \eta $ 是尺度参数（$ \eta > 0 $）；
- $ \gamma $ 是位置参数（通常为0或正数）。
当 $ \gamma = 0 $ 时，称为“两参数韦布尔分布”，这是最常见的一种形式；若 $ \gamma > 0 $，则称为“三参数韦布尔分布”。
韦布尔分布的特点总结
| 特性 | 描述 |
| 分布类型 | 连续型概率分布 |
| 应用领域 | 可靠性分析、寿命预测、风险评估 |
| 参数数量 | 2个（常用）或3个（扩展） |
| 形状参数 $ \beta $ | 决定分布形态： - $ \beta < 1 $：早期失效 - $ \beta = 1 $：指数分布（随机失效） - $ \beta > 1 $：磨损失效 |
| 尺度参数 $ \eta $ | 表示特征寿命，即 $ F(\eta) = 1 - e^{-1} \approx 63.2\% $ 的失效概率对应的时刻 |
| 位置参数 $ \gamma $ | 表示最小寿命，即分布开始于 $ \gamma $ 之后 |
总结
韦布尔分布在实际应用中非常强大，因为它可以通过调整形状参数来适应不同的失效模式。无论是工业设备的寿命预测，还是金融风险的评估，韦布尔分布都提供了灵活且有效的数学工具。掌握其基本定义与特性，有助于更好地理解并应用这一重要的统计模型。