【三角函数公式介绍】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。常见的三角函数包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）等，它们之间存在一系列基本公式和变换规则，便于计算与推导。以下是对常见三角函数公式的总结。
一、基本三角函数定义
设直角三角形中，角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦 | sinθ = a / c |
| 余弦 | cosθ = b / c |
| 正切 | tanθ = a / b |
二、三角恒等式
三角函数之间存在一些基本的恒等关系，可用于简化或转换表达式。
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 倒数关系 | sinθ = 1 / cscθ cosθ = 1 / secθ tanθ = 1 / cotθ |
| 商数关系 | tanθ = sinθ / cosθ cotθ = cosθ / sinθ |
| 平方关系 | sin²θ + cos²θ = 1 1 + tan²θ = sec²θ 1 + cot²θ = csc²θ |
三、诱导公式
诱导公式用于将任意角θ的三角函数值转化为0°~360°范围内的角度进行计算。
| 角度变化 | 三角函数值变化 |
| θ + 2π | sin(θ + 2π) = sinθ cos(θ + 2π) = cosθ |
| -θ | sin(-θ) = -sinθ cos(-θ) = cosθ |
| π - θ | sin(π - θ) = sinθ cos(π - θ) = -cosθ |
| π + θ | sin(π + θ) = -sinθ cos(π + θ) = -cosθ |
| 2π - θ | sin(2π - θ) = -sinθ cos(2π - θ) = cosθ |
四、和差角公式
用于计算两个角度之和或差的三角函数值。
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差公式 | sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB |
| 余弦和差公式 | cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB |
| 正切和差公式 | tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) |
五、倍角公式
用于计算角度的两倍、三倍等的三角函数值。
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | sin(2θ) = 2 sinθ cosθ |
| 余弦倍角公式 | cos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| 正切倍角公式 | tan(2θ) = 2 tanθ / (1 - tan²θ) |
六、半角公式
用于计算角度的一半的三角函数值。
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角公式 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] |
| 余弦半角公式 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] |
| 正切半角公式 | tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] |
七、积化和差与和差化积公式
用于将乘积形式的三角函数转换为和差形式，反之亦然。
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 积化和差 | sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 |
| 和差化积 | sinA + sinB = 2 sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] sinA - sinB = 2 cos[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] cosA + cosB = 2 cos[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] cosA - cosB = -2 sin[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] |
通过掌握这些基本公式，可以更高效地解决涉及角度和三角函数的数学问题。在实际应用中，合理选择并灵活运用这些公式，能够显著提高解题效率和准确性。